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分析“解分式方程”教學(xué)的案例
波利亞曾說過:“解決問題的成功要靠正確的轉(zhuǎn)化，化歸思想是指在解決問題的過程中，將那些有待解決或難以解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決或容易解決的問題的一種數(shù)學(xué)思想方法。”本課例解分式方程的基本思想是通過“轉(zhuǎn)化”，嘗試用問題設(shè)問的形式，驅(qū)動(dòng)學(xué)生思考，在問題的解決過程中，引導(dǎo)學(xué)生理解解分式方程的一般步驟。學(xué)會(huì)將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，在解決問題的過程中體驗(yàn)增根產(chǎn)生的原因及如何檢驗(yàn)增根。
一、預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)，呈現(xiàn)問題導(dǎo)入新課
思考:你能正確識(shí)別分式方程嗎?
下列關(guān)于x的方程，其中是分式方程的有______。(填序號(hào))
問題1 什么是分式方程?
問題2 為什么方程(4)不是分式方程?它是什么方程?如何看待其分母中的字母?
引導(dǎo)學(xué)生思考并歸納總結(jié)，分式方程的特點(diǎn)是:①含分母;②分母中含有未知數(shù)，分母中是否含有未知數(shù)是區(qū)別分式方程與整式方程的標(biāo)志。本例中的(4)是關(guān)于x的方程，其他字母皆為字母系數(shù)，通過本例辨析分式方程與含有字母已知數(shù)方程的區(qū)別。
設(shè)計(jì)意圖 在設(shè)疑解惑中引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注分式方程形式上的定義，不是簡單讓學(xué)生重復(fù)概念，而是展示一組方程讓學(xué)生識(shí)別，在答疑辨析中調(diào)動(dòng)學(xué)生對(duì)分式方程概念的理解，加深理解分式方程概念的關(guān)鍵點(diǎn)——分母中含有未知數(shù)，設(shè)計(jì)的方程(3)(4)(6)用意深刻，是對(duì)學(xué)生思考提出的發(fā)展性目標(biāo)。
二、合作探究，問在知識(shí)發(fā)生處，點(diǎn)撥釋疑
·你會(huì)解分式方程嗎?
教師出示問題，學(xué)生動(dòng)手解題，探究體驗(yàn):
比較方程(1)(2)的結(jié)果有差異嗎?為什么?
·為什么x=2不是原方程(2)的根?
·產(chǎn)生x=2不是原方程(2)的根的原因是什么?你能用數(shù)學(xué)語言說明嗎?
解(2):方程兩邊同乘以3(x-2)，得3(5x-4)=4x+10-3(x-2)，x=2。檢驗(yàn):把x=2代入最簡公分母3(x-2)中，3(x-2)=0，x=2稱為原方程的增根。
·引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考:
(1)解分式方程的一般步驟?要求學(xué)生自己歸納總結(jié)，然后討論交流。
①去分母，方程兩邊同乘以最簡公分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程;②解這個(gè)整式方程;③驗(yàn)根。使得最簡公分母為0的根為原方程的增根，必須舍去。
學(xué)生提出問題，小組合作探究討論:驗(yàn)根有幾種方法?如何檢驗(yàn)?
適當(dāng)?shù)木毩?xí)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)解分式方程的理解，幫助學(xué)生深刻理解化分式方程為整式方程的數(shù)學(xué)思想。
(2)呈現(xiàn)錯(cuò)例，分析錯(cuò)誤原因。(組織學(xué)生開展糾錯(cuò)討論)
①確定最簡公分母失誤;②去分母時(shí)漏乘整式項(xiàng);③去分母時(shí)忽略符號(hào)的變化;④忘記驗(yàn)根。
設(shè)計(jì)意圖 分解因式是要求學(xué)生掌握的基本技能，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，總結(jié)歸納解題步驟，對(duì)錯(cuò)例進(jìn)行剖析，加深對(duì)知識(shí)的理解。糾錯(cuò)是數(shù)學(xué)解題教學(xué)的一種重要學(xué)習(xí)形式。
(3)增根從哪里來?為什么要舍去?
(4)下面分式方程的解法是否正確?談?wù)勀愕南敕?
引導(dǎo)學(xué)生議一議，深入思考:你對(duì)上述解法有什么看法?還有其他解法嗎?通過解題表象再深入思考解分式方程的本質(zhì)。
分式方程的增根是它變形后整式方程的根，但不是原方程的根，產(chǎn)生增根的原因是在分式方程的左右兩邊乘以為0的最簡公分母造成的，所以使最簡公分母為0的未知數(shù)的值均有可能為增根。著名教學(xué)者李鎮(zhèn)西說過:“能讓學(xué)生自己完成的，教師絕不幫忙。”教師引路設(shè)問，創(chuàng)設(shè)質(zhì)疑討論的空間，深化對(duì)解分式方程本質(zhì)的理解，拓寬學(xué)生的視野。
三、靈活應(yīng)用，拓展思維
思考 “無解”與該分式方程有“增根”的意義一樣嗎?
分析 方程兩邊乘以(x+2)(x-2)，可得2(x+2)+ax=3(x-2)，(a-1)x=-10。顯然a=1時(shí)原方程無解。當(dāng)(x+2)(x-2)=0，即x=2或x=-2時(shí)，原方程亦無解，當(dāng)x=2時(shí)，a=-4;當(dāng)x=-2時(shí)，a=6。所以當(dāng)a=1，-4，6時(shí)，原方程無解。
設(shè)計(jì)意圖 分式方程的增根問題是學(xué)生理解的難點(diǎn)，部分學(xué)生解題過程中存有疑惑，還會(huì)與無解相混淆。本課例設(shè)計(jì)直擊難點(diǎn)，幫助學(xué)生梳理如何討論增根問題，并能利用其解決方程無解的相關(guān)問題。教師運(yùn)用問題串形式組織學(xué)生解分式方程不是表面上培養(yǎng)細(xì)心，明確算理，而是像幾何推理那樣步步有據(jù)，啟發(fā)學(xué)生經(jīng)過自己的獨(dú)立思考去尋求解決問題方案。
本課設(shè)計(jì)嘗試從數(shù)學(xué)的角度提出問題，理解問題。引導(dǎo)學(xué)生理解解分式方程的途徑是通過轉(zhuǎn)化為整式方程來求解。在解分式方程的過程中體驗(yàn)增根的由來。總結(jié)出解分式方程的一般步驟和驗(yàn)根的方法，通過靈活應(yīng)用實(shí)例分析把方程的相關(guān)知識(shí)融會(huì)貫通，在富有挑戰(zhàn)性問題的引導(dǎo)下，學(xué)生在探究、答疑、辨別中體會(huì)到，提出一個(gè)有價(jià)值的問題有時(shí)比解決一個(gè)問題更重要，本課例的設(shè)計(jì)讓學(xué)生學(xué)會(huì)質(zhì)疑，學(xué)會(huì)思考，真正在思維的層面上學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)解題。
本課例隨著提出問題的深入，幫助學(xué)生從新知識(shí)的視角，在方法的層面上分析，同時(shí)也喚醒了原有解整式方程及分式相關(guān)內(nèi)容的記憶，較好地鍛煉了學(xué)生思維的深刻性、廣闊性，在解題過程中不斷涌現(xiàn)新問題，通過課堂思維對(duì)話及思考，引導(dǎo)學(xué)生明白其所以然，激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的欲望，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的實(shí)效性、時(shí)效性和發(fā)展性。
本課例的最大特點(diǎn)就是把教學(xué)過程變成了學(xué)生的發(fā)現(xiàn)過程，在設(shè)問的引導(dǎo)下圍繞解分式方程過程層層展開，仔細(xì)品味驅(qū)動(dòng)式的數(shù)學(xué)問題串內(nèi)涵，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生收獲的不僅僅是如何解分式方程，還有發(fā)現(xiàn)理解能力、積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)思考經(jīng)驗(yàn)。如何從分式方程遷移至整式方程，如何尋根探源去探究增根產(chǎn)生的原因，并如何去檢驗(yàn)增根，這種能力是不會(huì)隨時(shí)間的遷移而消失的，學(xué)生探究能力的培養(yǎng)才是真正實(shí)現(xiàn)課堂效益的最終目的。
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