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以根的分布為題設的線性規劃問題
【論文關鍵詞】根的分布 線性規劃 交匯題
【論文摘要】由2007年高考全國卷 = 2 \* ROMAN II（文）第22題看出，我們可以構造一類函數與線性規劃的交匯題——以根的分布為題設的線性規劃問題. 這是因為函數 在區間端點的函數值 ，是討論一元二次方程 區間根的重要參數.由于 是關于 、 、 的一次表達式，這就為構造以一元二次方程根的分布為題設的線性規劃問題創造了條件，同時也符合高考在知識網絡的交匯點處命題的思想.近兩年的高考題、模擬題中以一元二次方程根的分布為題設的線性規劃問題的常見變式有以下三種：變式一：由函數問題導出根的分布特征的線性規劃問題；變式二：以根的分布為題設的非線性規劃問題；變式三：由函數問題導出根的分布特征的非線性規劃問題.
【正文】
題目 （2007年全國卷Ⅱ，文22）已知函數 在 處取得極大值，在 處取得極小值，且 .（Ⅰ）證明 ；（Ⅱ）求 的取值范圍.
解 函數 的導數 ．
（Ⅰ）由函數 在 處取得極大值，在 處取得極小值，知 是 的兩個根．
所以
當 時， 為增函數， ，由 ， 得 ．
（Ⅱ）在題設下， 等價于
即
此不等式組表示的區域為圖1中的陰影區域，不難求得 .
[1]
評注 由這道題看出，我們可以構造一類函數與線性規劃的交匯題——以根的分布為題設的線性規劃問題.本題的特征是已知含有兩個參數的三次函數極值點范圍，求關于這兩個參數的線性目標函數的值域.由于三次函數的導函數為二次函數，已知三次函數極值點的范圍，亦即給出了二次導函數根的分布區間，于是便可得到參數的線性約束條件，從而構造出線性規劃問題.
一般地，解決一元二次方程 根的分布問題可按如下三個步驟進行：
第一步：分析 的符號.
若 ，則方程無實根；
若 ，則方程有兩等根 ；
若 ，則方程有兩不等實根.
第二步：當 時，討論函數 在區間端點的函數值符號.
若 ，則方程的兩根在 的異側，即 ；
若 ，則方程的兩根在 的同側，即 .
第三步：當 時，再討論對稱軸與區間端點的位置關系.
若 ，則方程的兩根在 的左側，即 ；
若 ，則方程的兩根在 的右側，即 .
由上述解法可以看出，函數 在區間端點的函數值，是討論一元二次方程 區間根的重要參數.由于 是關于 、 、 的一次表達式，所以根據方程 區間根列出的不等式，往往是關于 、 、 的線性約束條件，這就為構造以一元二次方程根的分布為題設的線性規劃問題創造了條件，同時也符合高考在知識網絡的交匯點處命題的思想.
由于高考強調“以能力立意”，因此，我們看到的高考題往往是這類問題的拓展與改造，如將線性規劃問題改為非線性規劃問題，或由函數問題引出一元二次方程根的分布特征.現結合近兩年的高考題、模擬題談談以一元二次方程根的分布為題設的線性規劃問題的常見變式及其解法.
變式1 由函數問題導出根的分布特征的線性規劃問題.
2007年高考全國卷 = 2 \* ROMAN II（文）第22題就是這類題型.
[2]
變式2 以根的分布為題設的非線性規劃問題.
例1 （2006年北京西城區抽樣測試，理）已知方程 的兩根為 ， ，并且 ，則 的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
解 設 ，則有：
即
表示圖2中陰影區域內的點與點(0,0)連線的斜率.
不難得到 .
故選D.
點評 這是一道由一元二次方程根的分布得出線性約束條件后的非線性目標函數值域問題.高中常見的線性約束條件下的非線性目標函數值域問題有斜率型（如例1、例3）、距離型（如例2）.
變式3 由函數問題導出根的分布特征的非線性規劃問題.
例2 （2007年北京西城區一模，理）已知函數 且 .若實數 、 使得 有實根，則 的最小值為（ ）
A. B. C. 1 D. 2
解 令 ， 則 .
依題意有： 或 ，
即 或 .
表示圖3中陰影區域內的點到原點(0,0)的距離.
原點到
的距離均為 ，
的最小值為 ， 故選A.
[3]
點評 本題將題設變量代換后方顯根的分布特征.另外，本題中得到的可行域是兩不等式表示區域的并集，而不是交集.這與不等式組形式的線性約束條件是不一樣的.
例3 （2006年深圳第一次調研，理）已知 、 是三次函數 的兩個極值點，且 ，則 的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
解 . 依題意有：
即
表示圖4中陰影區域內的點到點（1，2）的斜率.
不難求得 ，故選A.
點評 本題考查導數、根的分布、線性規劃和直線斜率方面的知識，體現了知識點的銜接、融合，同時也體現出高考在知識網絡的交匯點處命題的思想，要求考生能熟練運用各種知識去解決問題.
[4]
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