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一道課本問題的變式訓(xùn)練
北師大版教材九年級(jí)上冊(cè)第一章第二節(jié)提出問題“在等腰三角形中作出一些線段(如角平分線、中線、高等)，你能發(fā)現(xiàn)其中一些相等的線段嗎?你能證明你的結(jié)論嗎?”，這是等腰三角形的性質(zhì)及三角形全等的知識(shí)的綜合應(yīng)用，由于學(xué)生在七年級(jí)就接觸過這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，故對(duì)學(xué)生來說掌握起來很容易，學(xué)生在課堂上的思維訓(xùn)練沒能達(dá)到一定的高度，針對(duì)這種情況，筆者在授課的過程中對(duì)這一課本問題進(jìn)行變式，使本節(jié)課的知識(shí)達(dá)到了一定的梯度，讓學(xué)生的思維產(chǎn)生了極大的碰撞，提高了學(xué)生的解題能力.現(xiàn)舉例如下：
變式一：如圖，D為等腰三角形ABC的底邊BC上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M，那么DE、DF、CM之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?并加以說明.
分析：首先引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想三條線段的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生很容易想到：CM=DE+DF.其次引導(dǎo)學(xué)生分析該問題屬于證線段的和差關(guān)系，應(yīng)采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法.法一：截長(zhǎng)法.可以過點(diǎn)C作CN⊥ED并交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，易證四邊形MENC為矩形，可得EN=CM，欲證CM=DE+DF，只須證EN=DE+DF，而EN=DE+DN，故證DN=DF即可.通過證△DFC≌△DNC即可得到DN=DF.法二：補(bǔ)短法.過點(diǎn)D作DI⊥CM并交CM于點(diǎn)I，證CI=DF即可.法三：由于CM是等腰三角形的高，于是聯(lián)想到等積法.可連接AD，因?yàn)椤鰽BC的面積等于AB•CM，△ABC的面積還等于AB•DE+AC•DF，又AB=AC，故CM=DE+DF.
通過此題，引導(dǎo)學(xué)生歸納出“到等腰三角形底邊上任一點(diǎn)到兩腰距離的和等于腰上的高”這一性質(zhì).
這是一道很常規(guī)的證線段的和差問題，學(xué)生想到方法一、二很容易，此題出彩點(diǎn)在引導(dǎo)學(xué)生想到等積法及歸納出等腰三角形的又一重要性質(zhì)，并應(yīng)用該性質(zhì)解題，于是引出變式二、三.
變式二：點(diǎn)D是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC的邊AB上任一點(diǎn)，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，那么DE+DF的值為_____________.
分析：這是某省市一道中考填空題.有了變式一的基礎(chǔ)，學(xué)生很容易知道求DE+DF的值就是求等邊三角形一邊上的高，再利用三線合一及勾股定理可求得DE+DF=.
解：過點(diǎn)B作BG⊥AC于G，連接CD.∵SABC=AC•BG，又∵SABC=AC•DF+BC•DE∴AC•BG=AC•DF+BC•DE，而AC=BC，故DE+DF=BG.
又∵等邊三角形三線合一可知G為AC的中點(diǎn)，∴AG=1.∴BG=.即DE+DF=.
變式三：在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD邊上任意一點(diǎn)，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，那么PE+PF的值為____________.
分析：此題是一道全國(guó)初中聯(lián)賽試題，在變式二的基礎(chǔ)上又有了一定的難度，分別求出PE、PF有困難，引導(dǎo)學(xué)生善于從復(fù)雜圖形中找到基本圖形，由矩形的對(duì)角線相等且平分知△AOD為等腰三角形，P為其底上任意一點(diǎn)，則P到兩腰的距離和等于腰上的高，故PE+PF的值等于BD邊上的高，則問題迎刃而解.
解：過點(diǎn)A作AI⊥BD于I，連接PO.
∵在矩形ABCD中有AO=DO，
∴△AOD為等腰三角形.
∵SAOD=OD•AI=AO•PF+DO•PE，∴PE+PF=AI.
又∵SABD=AB•AD=BD•AI，∴AI=，∵AD=12，AB=5，∴AI=，即PE+PF=.
通過這一組變式，學(xué)生既掌握了大綱要求本節(jié)課應(yīng)掌握的等腰三角形的性質(zhì)、三角形全等的知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)又回顧了矩形的性質(zhì)、勾股定理、等積法、截長(zhǎng)補(bǔ)短法等知識(shí)點(diǎn)，提高了學(xué)生歸納知識(shí)、綜合運(yùn)用知識(shí)及知識(shí)遷移的能力，培養(yǎng)了學(xué)生從復(fù)雜圖形中抽象出基本圖形的能力，培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維.故恰當(dāng)?shù)膶?duì)課本問題進(jìn)行變式對(duì)提高課堂效率、提高學(xué)生的解題能力不失為一種好辦法.
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