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用數學的眼光去分析俗語論文
很多俗語，其實都是人們對經驗的概括。它們未必很準確，卻總是有些道理。如果我們嘗試數學的眼光去分析這些俗語，又會得到什么結果呢?上得山多終遇虎
靠山吃山靠水吃水，住在山邊的人，饞了上山打獵，病了上山采藥，總之是經常與大自然親密接觸。但是，在古代，環境還沒有被破壞得這么厲害，山上有老虎是常有的事。盡管一只老虎的領地可達數平方公里，它也不是天天在領地閑逛，所以上山打一次獵遇到老虎的概率也不高。但對于那些天天上山打獵的老獵人來說，在職業生涯中一次老虎都沒有遇到過，倒是件稀有的事。所謂“上得山多終遇虎”，大概就是指的這種情況。
假設獵人每次上山打獵，遇到老虎的概率是p，也就是說遇不到老虎的概率是1－p。那么，在m次打獵中，每次都沒有遇到過老虎的概率就是（1－p）^m。只要有可能遇到老虎，相當于說p>0，當m越來越大時，（1－p）^m就越來越小，趨向于0，也就是說，盡管每次倒霉遇上老虎的概率不高，但如果每天都去打獵的話，總有一天會倒霉的。
可能有人會反過來想：我每次買*票，中頭獎的概率不是0，那么，總有一天我會中頭獎的。這種想法既對又不對，理論上來說，的確一直買下去的話總有一天會中獎，但是大概要買多少遍才會中頭獎呢?以36選7為例，中頭獎的概率是1/C（36，7），所以大概要買C（36，7）期會有一期中頭獎，那是大概八百萬期，也就是大概兩萬年。兩萬年后，福彩是否存在還是個問題。 而對于獵人來說，每次上山遇虎的概率顯然沒有那么低。要是聽到虎嘯也算遇虎的話，千分之一應該算是一個不錯的估算。這樣算來，大概打一千次獵就會有一次遇到老虎，對于經常上山的獵人來說大概十多年就有這個數了，難怪“上得山多終遇虎”。 現在環境破壞得嚴重，要“遇虎“，大概只能到動物園去了，山里反倒非常安全。“盛世出猛虎”之類的，只能是笑話了。
坐吃山空
“坐吃山空”，大概是告誡那些只愿吃閑飯不愿干活的人，無論家里有多少錢，總有一天要吃光的。 在忽略貨幣變化的前提下，假設家里的存款是M，一頓飯只需要花費m，這些存款也只能支撐M/m頓飯，也就是說是不可能永遠吃閑飯吃下去的。 用數學的語言來說，只要m不是0，無論m多么小，將很多同樣的m加起來，我們可以得到要多大有多大的數。這種性質叫做實數的阿基米德性質。
利用阿基米德性質，我們能解釋0.999…＝1的問題。假設p＝1－0.99…，如果p不等于0的話，p就是一個正實數。根據阿基米德性質，總存在一個整數M，使得M*p>＝1。于是p＝1－p＝0.999…。然而，這是不可能的，因為1/M總會在小數點后某一位開始非0，導致1－1/M不等于0.999…。這個矛盾表明我們的假設是錯誤的，也就是說其實0.999…＝1。
很多我們常見的數都有阿基米德性質，比如說有理數，實數，復數。當然，對于復數來說，“要多大有多大”就要重新定義了，一般是用它的范數——也就是在復平面上與原點的距離——來定義的。在復數里邊，就應該講是可以得到范數要多大有多大的數。
久賭必輸
從來只聽過開賭場而富甲一方的，沒聽過有賭徒能通過而過上幸福生活的，反倒是家破人亡的不計其數。在賭場的話，既有抽頭，賭局也是對賭場有利的。說難聽點，去賭場賭錢就相當于直接送錢給賭場老板。就算是一對一機會均等的賭局，要是一直賭下去的話，也總有一天會輸光的。這就是“久賭必輸”。
假設每盤賭局的*注是1，而賭徒的財產是n。在每盤賭局中，賭徒有1/2的概率贏，有1/2的概率輸。那么，如果一直這樣賭下去的話，賭徒輸光的概率是多少呢? 顯然，賭徒的錢越多，輸光需要的局數也越多。當賭徒的財產是n時，我們記輸光的概率為p(n)。因為每次賭局有一半的可能贏，一半的可能輸，贏的時候財產變成n＋1，輸的時候變成n－1，所以p(n)＝(p(n＋1)＋p(n－1))/2。當n＝0的時候，即使不用賭，所有東西都輸光了，所以p(0)＝1。 所以，p可以看作一個滿足下列遞推關系的數列： p(0)＝1 p(n＋1)＝2p(n)-p(n－1)，也就是p(n＋1)－p(n)＝p(n)-p(n－1) 容易驗證p(n)＝n*p(1)－(n－1)正好符合上面的遞推關系。因為p(n)>＝0，所以對于任意的n，必定有p(1)>＝1－1/n，所以p(1)＝1，從而對于所有的n，p(n)＝1。在無限次的中，賭徒在某一次中輸光的概率是1。
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