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一道2006年高考理綜測(cè)試題的多種解法探討
一道2006年高考理綜測(cè)試題的多種解法探討
原題（2006年高考全國(guó)Ⅰ卷理科綜合能力測(cè)試第24題）一水平的淺色長(zhǎng)傳送帶上放置一煤塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），煤塊與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因素為µ 。初始時(shí)，傳送帶與煤塊都是靜止的。現(xiàn)讓傳送帶以恒定的加速度a0開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其速度達(dá)到v0后，便以此速度做勻速運(yùn)動(dòng)。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，煤塊在傳送帶上留下了一段黑色痕跡后，煤塊相對(duì)于傳送帶不再滑動(dòng)。求此黑色痕跡的長(zhǎng)度。
物理情景分析：本題可理解為兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，求它們相對(duì)位移的大小。對(duì)于煤塊在摩擦力作用下由靜止開(kāi)始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，末速度為v0，對(duì)于煤塊開(kāi)始與傳送帶的接觸點(diǎn)（A點(diǎn)），先由靜止做加速度為a0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度達(dá)到v0時(shí)，再以v0做勻速運(yùn)動(dòng)。解決本題的關(guān)鍵就是理清思路求出在煤塊加速到v0這段時(shí)間t內(nèi)，A點(diǎn)移動(dòng)的位移與煤塊移動(dòng)的位移之差。下面筆者結(jié)合平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐介紹以下四種常用解法。
解法一：（利用勻變速運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律求解）根據(jù)“傳送帶上有黑色痕跡”可知，煤塊與傳送帶之間發(fā)生了相對(duì)滑動(dòng)，煤塊的加速度a小于傳送帶的加速度a0。由牛頓第二定律可得：a = µg ①
設(shè)經(jīng)歷時(shí)間t1傳送帶上A點(diǎn)由靜止加速到v0，煤塊則由靜止加速到v則：v0 =a0t1 ②. V = at1 ③
由于a ＜ a0 ,故 v ＜ v0 .煤塊繼續(xù)受到摩擦力的作用，再經(jīng)過(guò)t2煤塊的速度由v增加到v0則：v0 = v + at2 ④ .
此后煤塊與傳送帶運(yùn)動(dòng)速度相同，相對(duì)于傳送帶不再滑動(dòng)，不再產(chǎn)生新的痕跡。
設(shè)在煤塊由靜止加速到v0的整個(gè)過(guò)程中，傳送帶上A點(diǎn)和煤塊移動(dòng)的距離分別為s1和s2 ，則： ⑤，
⑥，
傳送帶上留下的黑色痕跡的長(zhǎng)度：△s = s1 – s2 ⑦
由以上各式解得： 。
以上解法是參考答案給出的解法，也是最基本的解法，但解題過(guò)程較繁。
解法二：（利用平均速度公式及全過(guò)程法求解）因煤塊由靜止到速度增加到v0過(guò)程中一直以加速度a = µg 做勻加速運(yùn)動(dòng)，則所用時(shí)間： ，
通過(guò)的位移： 。
對(duì)傳送帶上的A點(diǎn)先以加速度a0由靜止開(kāi)始做勻加速運(yùn)動(dòng)，速度達(dá)到v0后又做勻速運(yùn)動(dòng)。則加速過(guò)程所用時(shí)間： ；
勻速運(yùn)動(dòng)所用時(shí)間：；
則A點(diǎn)在t這段時(shí)間內(nèi)發(fā)生的位移：
；
故： 。
解法三：（利用速度圖象求解）依據(jù)以上分析可在同一坐標(biāo)系中作出傳送帶上的A點(diǎn)和煤塊的速度圖象，如圖：
由解法二： ； ；
則痕跡的長(zhǎng)度應(yīng)為圖中ΔOCD的“面積”。即
。
解法四：（在非慣性系中求解）以煤塊為參考系，可認(rèn)為傳送帶上的A點(diǎn)先相對(duì)于煤塊做初速度為零，加速度為：；
的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)時(shí)間后A點(diǎn)相對(duì)于傳送帶的速度為： ；
然后傳送帶上的A點(diǎn)又相對(duì)與煤塊做勻減速運(yùn)動(dòng)，相對(duì)于煤塊的末速度為0。整個(gè)過(guò)程的總的時(shí)間為：；
則： 。
除以上四種方法外，在求煤塊的加速運(yùn)動(dòng)時(shí)間t時(shí)，可運(yùn)用動(dòng)量定理求出。求煤塊加速運(yùn)動(dòng)的位移s2也可用動(dòng)能定理求出。通過(guò)以上解法，要求教師在平時(shí)的教學(xué)中對(duì)學(xué)生應(yīng)加強(qiáng)一題多解、一題多變的訓(xùn)練。這樣可以培養(yǎng)學(xué)生多角度分析、解決問(wèn)題的能力，拓寬解題思路，開(kāi)闊視野，啟迪思維，開(kāi)發(fā)智力，達(dá)到學(xué)以致用的目的。
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