數(shù)學(xué)中的美
摘要：通過(guò)認(rèn)識(shí)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的美，如：黃金數(shù)、勾股定理、美妙的對(duì)稱(chēng)等，讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)中有很多美的東西，使學(xué)生變“苦學(xué)”為“樂(lè)學(xué)”。這樣不僅陶冶了情操，又讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)感受到數(shù)學(xué)的美，從而激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。關(guān)鍵詞：和諧；黃金數(shù)；勾股定理；對(duì)稱(chēng)美
隨著數(shù)學(xué)的深入發(fā)展，人們逐漸地認(rèn)識(shí)到：數(shù)學(xué)的發(fā)展與人類(lèi)文化休戚相關(guān)，數(shù)學(xué)一直也是人類(lèi)文明的文化力量。在數(shù)學(xué)教材中，蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)美，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的美，有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，能增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力和數(shù)學(xué)思維。
一、黃金數(shù)
兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克斯發(fā)現(xiàn)：如果將一條線段(AB)分割成大小兩段(AP、PB)，若小段與大段的長(zhǎng)度比恰好等于大段長(zhǎng)度與全長(zhǎng)之比的話，那么這一比值等于0.618…，用式子表示就是PB：AP=AP：AB=0.618…
建筑師們對(duì)數(shù)字0.618…特別偏愛(ài)，無(wú)論是古埃及的金字塔，還是巴黎的圣母院，或者是近世紀(jì)的法國(guó)埃菲爾鐵塔，都是與0.618…有關(guān)的數(shù)據(jù)。人們還發(fā)現(xiàn)，一些名畫(huà)、雕塑、攝影作品的主題，大多在畫(huà)面的0.618…處。藝術(shù)家們認(rèn)為弦樂(lè)器的琴馬放在琴弦的0.618…處，能使琴聲更加柔和甜美。因此大畫(huà)家達(dá)•芬奇把0.618…稱(chēng)為黃金數(shù)。
黃金分割在幾何作圖中有很多應(yīng)用，如五角星的各邊就是按照黃金分割劃分的，圓的內(nèi)接正十邊形也能歸結(jié)為黃金分割。關(guān)于黃金分割還有很多應(yīng)用，如攝影、建筑設(shè)計(jì)、音樂(lè)、藝術(shù)等。
二、古老的勾股定理
勾股定理是初等幾何中的一個(gè)基本定理，是人類(lèi)最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之王，西方國(guó)家稱(chēng)之為“畢達(dá)哥拉斯定理”，但遠(yuǎn)在畢達(dá)哥拉斯（公元前580或568—公元前501或500）出生之前，這一定理早已為人們利用，幾乎所有文明古國(guó)（希臘、中國(guó)、埃及、巴比倫、印度等）對(duì)此定理都有所研究。希臘著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯曾對(duì)本定理有所研究，故西方國(guó)家均稱(chēng)此定理為畢達(dá)哥拉斯定理。我國(guó)又前也叫“畢達(dá)哥拉斯定理”，上世紀(jì)50年代曾開(kāi)展關(guān)于這個(gè)定理命名問(wèn)題的討論，最后確定叫“勾股定理”。
3500年以前，巴比倫人就知道三邊長(zhǎng)為下列各數(shù)的一些三角形為直角三角形：
120，119，169； 3456，3367，4825； 4800，4601，6649； 13500，12709，18541； 72，65，97； 360，319，481；2700，2291，3541； 960，799，1249；
然而，當(dāng)時(shí)為什么列出這些三角形，至今還是個(gè)謎。
勾股定理是歐氏平面幾何的一個(gè)核心結(jié)果，是三角學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，開(kāi)普勒稱(chēng)“幾何學(xué)兩個(gè)寶藏”：一個(gè)是勾股定理，另一個(gè)是黃金分割。中國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾建議用一幅反映勾股定理的數(shù)形關(guān)系圖來(lái)作為與“外星人”交談的語(yǔ)言。就勾股定理本身而言，它在直角三角形的三條邊之間建立了固定關(guān)系，從而將原來(lái)對(duì)幾何學(xué)的感性認(rèn)識(shí)精確化，真正意義的幾何學(xué)才可以確立。尤其是其中體現(xiàn)出來(lái)的“數(shù)形統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義。勾股定理啟發(fā)了人類(lèi)對(duì)數(shù)學(xué)的深入思考，促成了解析幾何及三角學(xué)的建立，使數(shù)學(xué)的幾何與代數(shù)兩大門(mén)類(lèi)結(jié)合起來(lái)，為數(shù)學(xué)進(jìn)一步的發(fā)展開(kāi)拓了寬廣的道路。勾股定理以及處理數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)方法、思考模式和現(xiàn)代天體物理學(xué)思考模式一致。第一宇宙定律就是通過(guò)對(duì)勾股定理的說(shuō)明影響人們思維方法的平直時(shí)空觀。
在人類(lèi)借助宇宙飛船設(shè)法尋找“外星人”的時(shí)候，曾經(jīng)碰到了一個(gè)難題：一旦人類(lèi)遇到“外星人”，該怎樣與他們進(jìn)行交談？顯然用人類(lèi)的語(yǔ)言、文字、音樂(lè)等是不行的。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚建議，用一幅數(shù)形關(guān)系圖作為與“外星人”交談的語(yǔ)言。
這幅圖中有邊長(zhǎng)為3、4、5的三個(gè)正方形，它們又相互聯(lián)結(jié)圍成一個(gè)三角形，三個(gè)正方形都被分成了大小相同的一些小方格，并且每條邊上小方格的個(gè)數(shù)與這條邊長(zhǎng)度的數(shù)字相等，兩個(gè)小正方形的小方格數(shù)分別為9和16，其和為25，恰好等于大正方形的小方格數(shù)，整幅圖反映了“在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”。這就是勾股定理，西方人稱(chēng)它為畢達(dá)哥拉斯定理。
勾股定理是—條古老而又應(yīng)用十分廣泛的定理。據(jù)說(shuō)四千多年前，中國(guó)的大禹就是用勾股定理來(lái)確定兩地的地勢(shì)差，以治理洪水的。古埃及人也是運(yùn)用勾股定理，以繩子打結(jié)的方法來(lái)確定直角，并用這種辦法確定金字塔的正方形底的。勾股定理在現(xiàn)代的應(yīng)用范圍更為廣泛。木工用三、四、五放線法確定垂線或直角。在計(jì)算屋架所需木料以及起重機(jī)工作高度時(shí)，都需要用勾股定理來(lái)幫助計(jì)算。而勾股定理在科學(xué)、技術(shù)、工程上的應(yīng)用更是多得不勝枚舉。事實(shí)上，勾股定理在現(xiàn)代的應(yīng)用范圍是任何數(shù)學(xué)定理所不可比擬的。 三、美妙的對(duì)稱(chēng)
自古以來(lái)，人們就已經(jīng)討論對(duì)稱(chēng)原理之一——左和右之間的對(duì)稱(chēng)（還有上、下、前、后等之間的對(duì)稱(chēng)）了。對(duì)稱(chēng)的概念源于數(shù)學(xué)（更確切地講是歐氏幾何）。對(duì)于對(duì)稱(chēng)在生物中的研究，始于1848年的巴斯德的工作，對(duì)稱(chēng)在天文學(xué)（甚至自然界）上的研究，則始于兩千多年前的古希臘人。20世紀(jì)的物理學(xué)家們研究中發(fā)現(xiàn)：對(duì)稱(chēng)的重要性在與日俱增，這從某個(gè)方面也說(shuō)明了希臘人想法的合理性。
鬧鐘、飛機(jī)、電扇、屋架等的功能、屬性完全不同，但是它們的形狀卻有—個(gè)共同特性——對(duì)稱(chēng)。
在鬧鐘、屋架、飛機(jī)等的外形圖中，可以找到一條線，線兩邊的圖形是完全一樣的。也就是說(shuō)，當(dāng)這條線的一邊繞這條線旋轉(zhuǎn)180度后，能與另一邊完全重合。在數(shù)學(xué)上把具有這種性質(zhì)的圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條線叫做對(duì)稱(chēng)軸。電扇的葉子不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不管怎么畫(huà)線，都無(wú)法找到這條直線。但電扇的—個(gè)扇葉，如果繞著電扇中心旋轉(zhuǎn)1 80度后，會(huì)與另一個(gè)扇葉原來(lái)所在位置完全重合。這種圖形在數(shù)學(xué)上稱(chēng)為中心對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)中心點(diǎn)稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)中心。顯然鬧鐘也是一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)圖形。
人們把鬧鐘、飛機(jī)、電扇制造成對(duì)稱(chēng)形狀，不僅為了美觀，而且這有一定的科學(xué)道理：鬧鐘的對(duì)稱(chēng)保證了走時(shí)的均勻性，飛機(jī)的對(duì)稱(chēng)使飛機(jī)在空中保持平衡。
對(duì)稱(chēng)也是藝術(shù)家們創(chuàng)造藝術(shù)作品的重要準(zhǔn)則。像中國(guó)古代的近體詩(shī)中的對(duì)仗、民間常用的對(duì)聯(lián)等，都有一種內(nèi)在的對(duì)稱(chēng)關(guān)系。如果說(shuō)建筑也是一種藝術(shù)的話，那么建筑藝術(shù)中對(duì)稱(chēng)的應(yīng)用就更廣泛。中國(guó)北京整個(gè)城市的布局也是以故宮、天安門(mén)、人民英雄紀(jì)念碑、前門(mén)為對(duì)稱(chēng)軸兩邊對(duì)稱(chēng)的。對(duì)稱(chēng)還是自然界的一種生物現(xiàn)象。不少植物、動(dòng)物都有自己的對(duì)稱(chēng)形式。比如人體就是以鼻尖、肚臍的連線為對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)形體，眼、耳、鼻、手、腳都是對(duì)稱(chēng)生長(zhǎng)的。眼睛的對(duì)稱(chēng)使人觀看物體能夠更加準(zhǔn)確；雙耳的對(duì)稱(chēng)能使所聽(tīng)到的聲音具有較強(qiáng)的立體感，確定聲源的位置；雙手、雙腳的對(duì)稱(chēng)能保持人體的平衡。
對(duì)稱(chēng)在數(shù)學(xué)上的表現(xiàn)則是普遍的。幾何上，平面的情形有直線對(duì)稱(chēng)（軸對(duì)稱(chēng)）和點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（中心對(duì)稱(chēng)），空間的情形除了直線和點(diǎn)對(duì)稱(chēng)外，還有平面對(duì)稱(chēng)。比如，正方形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形（以過(guò)對(duì)邊中心的直線為軸）、又是中心對(duì)稱(chēng)圖形（對(duì)角線交點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心），圓也是。正六面體（立方體）、球等都是點(diǎn)、線、面對(duì)稱(chēng)圖形。
從命題的角度去看：正定理與逆定理、否定理、逆否定理等也存在著對(duì)稱(chēng)關(guān)系。而且，數(shù)學(xué)推理的內(nèi)在的優(yōu)美，以及由此而來(lái)的用數(shù)學(xué)推理法去揭示物理學(xué)結(jié)論的復(fù)雜性和嘗試，是鼓舞物理學(xué)家不斷進(jìn)取的源泉。當(dāng)代美國(guó)數(shù)學(xué)家赫爾曼•韋爾指出：“對(duì)稱(chēng)，盡管你可以規(guī)定其含義或?qū)捇蛘欢鴱墓诺浇穸际侨藗冇脕?lái)理解和創(chuàng)造秩序、美妙以及盡善盡美的一種思想。”對(duì)稱(chēng)原理乃是數(shù)學(xué)中“最有力量和最優(yōu)雅”的解題方法之一。
綜上所述，數(shù)學(xué)中處處充滿著各種各樣的美，正是這些美構(gòu)成了完整的數(shù)學(xué)美，也正是這些美激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高了學(xué)生的思維能力和解題能力。數(shù)學(xué)美能減輕學(xué)生的心理壓力，伴隨著美感的學(xué)習(xí)是一種享受，而非一種負(fù)擔(dān)，可使學(xué)生學(xué)習(xí)從“苦學(xué)”為“樂(lè)學(xué)”。這樣不僅使學(xué)生陶冶了情操，又獲取了知識(shí)，開(kāi)發(fā)了智力。讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)、感受到數(shù)學(xué)的美，為數(shù)學(xué)本身的魅力所吸引，通過(guò)領(lǐng)悟奇妙的數(shù)學(xué)美，使數(shù)學(xué)真正成為鍛煉思維的體操。
參考文獻(xiàn)：
[1]易南軒.數(shù)學(xué)美拾趣[M].北京：科學(xué)出版社，2004.
[2]張維忠.數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)課程[M].上海：上海教育出版社，1999.
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