運籌學運輸問題的教學方法探討論文

運籌學運輸問題的教學方法探討論文

　　【摘要】 用運籌學的思想探討運籌學課程的教學方法。運籌學中的指派問題、最短路問題，最小費用流問題可轉化為運輸問題或轉運問題，從而可以統籌安排這些教學內容，為提高教學效果，減少教學時間找出更優的教學方法。

　　【關鍵詞】 運輸問題; 轉運問題; 運籌學; 教學方法

　　運籌學是一門應用科學，它運用數學方法對經濟和管理系統中的各種有限資源進行統籌安排，為決策者提供最優參考方案，以實現有效的科學管理。運籌學是管理類專業的專業基礎課，對管理類人才培養有著重要的意義。該課程的特點是將數學知識、數學建模、經濟管理與計算機應用四者融為一體，通過各類實際問題的案例，培養學生分析、解決實際問題的能力。該課程本身有一定的難度，作為教師，應努力探索教育教學規律，認真把握課程的特點，以獲得良好的教學效果。如何在現有的有限資源條件下(如學時、生源、師資)，將這門課上好，不也正是運籌學研究的內容嗎?

　　運籌學涉及內容較多，線性規劃是最主要的一個分支，其理論最完善、方法最成熟，應用也最廣泛，涉及的很多問題都是經典的問題，如運輸問題、指派問題、最短路問題，最小費用流問題等。自己在運籌學教學過程中發現，這些問題有相同的共性，可以歸結為同一個問題，從而可以統籌安排教學內容，為運籌學課程提高教學效果，減少教學時間找出更優的教學方法。

　　1 運輸問題和轉運問題

　　1.1 運輸問題

　　運輸問題一般指貨物可直接從產地運往銷地。下面以運費問題為例進行說明。

　　記si 為產地Ai(i=1,2,…,n) 的產量，dj 為銷地Bj(j=1,2,…,m) 的銷量，cij 為把貨物從產地Ai 運往銷地Bj 的單位運價。設xij 為從產地Ai 運到銷地Bj 的貨物量，則運費最少的產銷平衡問題的線性規劃模型為[1,4]：

　　目標函數 min z=秐i=1 秏j=1cijxij

　　約束條件 秏j=1xij=si ，(i=1,2,…n) (1)

　　秐i=1xij=dj ，(j=1,2,…m) (2)

　　xij≥0 ,對所有的i 和j 。

　　對于不同的實際問題，有時還需加一些約束條件。例如，當貨物量的單位為“件”、“箱”時，還需加上xij 為整數的約束條件。

　　對于產銷不平衡問題一般用兩種方法解決：

　　第一種方法是建立一個假想(虛擬)的產地或銷地，根據實際問題，將從產地運往銷地的單位運價設為0或一個很大的數，再轉化為產銷平衡問題，這一方法比較復雜一些。另一種更簡單的方法是，對產大于銷問題，將(1)式中的等式變為≤ ，對銷大于產問題，將(2)式中的等式變為≤ ，這種方法更直觀，易于學生理解和掌握。

　　1.2 轉運問題

　　轉運問題是運輸問題的一個擴充，當產地的貨物不能直接運往銷地時，需通過中轉站。

　　記產地為發點，銷地為收點，中轉站為中轉點，cij 為把貨物從點i 運往點j 的單位運價。設xij 為從點 i運往點j 的貨物量，則運費最少的產銷平衡轉運問題的線性規劃模型為[1,4] ：

　　目標函數 min z=端有的弧cijxij

　　約束條件 ：對發點i 有 端有的流出量xij-端有的流入量xij=si (3)

　　對中轉點有 端有的流出量xij-端有的流入量xij=0 (4)

　　對收點j 有 端有的流出量xij-端有的流入量xij=di (5)

　　xij≥0 ，對所有的i 和j 。

　　對于產銷不平衡問題，可根據實際問題將(3)或(5)式中的等號改為不等號。

　　2 可轉化為運輸問題的問題

　　2.1 指派問題

　　一般的指派問題為[1,4]：有n 項任務，恰好有n 個人可分別承擔這些任務，由于各人特長不同，完成各項任務的效率等情況(如時間)也不同，現假設必須指派每個人去完成一項任務，怎樣把n 項任務指派給n 個人，使完成n 項任務的總效率最高。

　　以完成任務的效率是時間為例，說明指派問題可轉化為運輸問題。

　　將每個人看成產地，產量均為1，si=1 ，即每個人生產出一個勞動力;將每項工作看成銷地，銷量為1，dj=1 ，即每項工作需要一個勞動力來完成;將每個人完成各項任務的時間看成單位運價cij ;設xij=1 為指派第 i個人完成第j 項工作，設xij=0 為不指派第i 個人完成第j 項工作，則上述指派問題可轉化為產銷平衡的運輸問題。

　　當任務項數多于人數時，可看成是銷大于產的情況，當人數多于任務項數時，可看成是產大于銷的情況，由此可轉化為產銷不平衡的運輸問題。

　　2.2 特殊的背包問題

　　一般的背包問為[1]：設背包攜帶物品的重量限制為W ，N 種物品中第i 種物品的重量為wi ，價值為ci ，總數量為ni ，如何決定這N 種物品中的每一種物品多少數量裝入背包內，使得裝入背包物品的總價值最大。

　　考慮wi 都相等的特殊情況，即每種物品的重量都相等，不妨設為1。將第i 種物品看成產地Ai ，產量為ni ;將背包看成唯一的一個銷地，銷量為W ，將第i 種物品的價值負數看成單位運價-ci ，設xi 為攜帶的第i 種物品的數量，則這種背包問題可轉化為銷大于產的的運輸問題。

　　3 可轉化為轉運問題的問題

　　3.1 最短路問題

　　一般的最短路問題為[1]：對一個賦權的有向圖，找到一條從一個指定的起點到另一個指定的終點的路，使這條路上所有弧的權數的總和最小。

　　將起點看成唯一的一個產地(發點)，產量為1;將終點看成唯一的一個銷地(收點)，銷量為1;將其余點看成中轉點，任兩點的權看成單位運價，并設xij==1 為最短路經過弧(i ，j )， xij=0為最短路不經過弧(i ，j )，則最短路問題可轉化為產銷平衡的轉運問題。

　　在實際應用中遇到更多的是無向圖的最短路問題。這時需將無向圖添加方向變為有向圖。由于最短路不可能由起點出發再回到起點，到了終點也不會再轉向其它點，而其它情況的各種可能性都有，所以可用如下方法為無向圖添加方向：與起點相連的弧，方向由起點指向另一點;與終點相連的弧，方向由另一點指向終點;與起點、終點無關的弧，給出雙向的方向(圖1)�；�(i ，j )和弧(i ，j )權相同。圖1 無向圖(左)添加方向成為有向圖(右)，其中1為起點，5為終點

　　3.2 最大流問題

　　一般的最大流問題為[1] ：給了一個帶收發點的網絡，其每條弧的賦權稱之為容量，在不超過每條弧的容量的前提下，求出從發點到收點的最大流量。

　　記發點為v1 ，收點為vn ，fij 為弧(vi,vj) 上的容量，M=秗k=2f1k ，各條弧上的單位運價為c1k=-1 ，k=2,3,…,r ，其余cij=0 。設xij 為弧(vi,vj) 上的流量，則上述最大流問題可轉化為只有一個產地(發點)，產量為M，只有一個銷點(收點)，銷量為秗k=2x1k 的產大于銷的轉運問題：

　　目標函數 min z=端有的弧cijxij=-秗k=2x1k 約束條件 ：對發點1 有 秗k=2x1k≤M (6)

　　對中轉點有 端有的流出量xij-端有的流入量xij=0

　　對收點n 有 端有的流入量xin=秗k=2x1k

　　0≤xij≤fij ，對所有的 i和j 。

　　其實(6)式是多余的，由 0≤xij≤fij可以得到，這里僅為了說明該問題可轉化為轉運問題。

　　3.3 最小費用流問題

　　一般的最小費用流問題為[4]：給了一個帶收發點的網絡，對每一條弧除給出了容量外，還給出了這條弧的單位流量的費用，要求一個可行流，并使得總運送費最小。

　　若可行流是最大流時，則為最小費用最大流問題。

　　最小費用最大流問題分兩步解，第一步，先求出最大流F;第二步，在最大流F的所有解中，找出一個最小費用的解。

　　關于第一步求最大流問題，已在前面討論過。第二步求最小費用問題，將發點看成唯一的產地，產量為F(或可行流)，將收點看成唯一的銷地，銷量為F(或可行流)，每條弧的單位流量的費用看成單位運價，由此可轉化為產銷平衡的轉運問題。

　　4 討論

　　在教學中，將看似不同的問題歸納轉化為同一問題，非常重要。首先，這涉及到教學內容的結構問題，原來看似不同的問題可能在教材的不同章節，轉化為同一問題后可并入同一章節。第二，對提高教學效果有一定的幫助。對老師而言，可減少教學時間，原先要花較多時間講解不同的問題，現在只需講解一個問題，然后作為同一問題舉一反三，不僅可將原問題講授得更清楚，也解決了新問題。對學生而言，原先要記多種問題的解法，現在只需記一種解法就可以了，減輕了學習負擔。第三，更重要的是，啟發學生對問題有更深入的理解，抓住事物的本質，而不是停留在表面，這對培養學生抽象思維、綜合歸納能力是大有裨益的。當然，要做到這一點，對老師的要求顯然更高，必須要花更多的時間和精力研究問題，吃透教材，理解精髓，融會貫通，非一般的應付教學所能解決的。最后，在用計算機求解方面，可用同一程序處理這些類似的問題。

　　因此，將看似不同的問題歸納轉化為同一問題，可以統籌安排教學內容，在現有的教學條件下，能幫助我們提高教學效果，減少教學時間。這正是運籌學的精髓，對各種有限資源進行統籌安排，找出最優方案。所以本文與其說是教學體會，還不如說是運籌學方法的運用，用運籌學方法探討運籌學的教學問題，為運籌學教學找到一種更好的方法。

　　【參考文獻】

　　1 韓伯棠.管理運籌學.第2版.北京：高等教育出版社,2005.

　　2 羅榮桂，原海英.運籌學教學改革與探索.理工高教研究，2005，24(3)：49～50.

　　3 黃宇林.從運籌學教學談人才培養模式與實踐.中國教育導刊，2005，(2)：76～77.

　　4 朱道立，徐慶，葉耀華.運籌學.北京：高等教育出版社,2006.

　　5 董振寧，劉洪偉.管理類專業運籌學教學存在的問題及對策.中山大學學報論叢,2006，26(1)：2～35.

　　6 張輝.運籌學教學方法探討.中國石油大學勝利學院學報.2008 ，22(1)：85～86.

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