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解讀高中數(shù)學(xué)中的抽象函數(shù)
抽象函數(shù)問題是高中函數(shù)中的一類綜合性比較強(qiáng)的問題,學(xué)生往往感到無從下手。解決這類問題要求學(xué)生抽象思維能力、綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的能力較強(qiáng),但是,教師只要引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確掌握所學(xué)基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì),分清是哪一類函數(shù)的抽象,可以優(yōu)化思路,使問題難度降低,從而得以解決。
下面舉例說明:
形如f(x+y)=f(x)+f(y)+m(m為常數(shù))
思路:看作 一次函數(shù)的抽象,聯(lián)想一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)。特例:m=0時,聯(lián)想過原點的直線。
例1.函數(shù)f(x)對任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且當(dāng)x>0時,f(x)>1.
(1)求證:f(x)是R上的增函數(shù);
(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
(1)證明:設(shè)x10,
∵x>0時,f(x)>1
∴f(x2-x1)>1,
∵f(x2)-f(x1)=f(x1+x2-x1)-f(x1)
=f(x1)+f(x2-x1)-1-f(x1)
=f(x2-x1)-1>0
(2) ∵f(4)=f(2+2)=2f(2)-1=5,∴f(2)=3.
又f(x)是R上的增函數(shù),
∴f(3m2-m-2)<3 f(3m2-m-2)
∴f(x)是R上的增函數(shù).∴f(3m2-m-2)<3
f(3m2-m-2)
3m2-m-2<2 -1
解得不等式解集為{m|-1
點評 1.回歸定義,充分運(yùn)用已知條件:x>0時,f(x)>0 △x=x2-x1>0,f(x2-x1)>1
2.等價轉(zhuǎn)化思想:運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性,去掉函數(shù)符號,轉(zhuǎn)化為解關(guān)于m的不等式。
思路:聯(lián)想冪的運(yùn)算性質(zhì),可看作指數(shù)函數(shù)的抽象,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行解題。
抽象函數(shù)問題,需要綜合運(yùn)用函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性,周期性,對稱性等性質(zhì),應(yīng)用分析,邏輯推理,聯(lián)想類比等數(shù)學(xué)思想方法。
常見題型有:
①求抽象函數(shù)的某一函數(shù)值:根據(jù)函數(shù)結(jié)構(gòu)特征,用賦值法。
②判(證)抽象函數(shù)的單調(diào)性:類比所學(xué)具體函數(shù),充分運(yùn)用已知條件,對變量合理賦值。
③解關(guān)于抽象函數(shù)的不等式:一看定義域,一看單調(diào)性。
只要掌握相應(yīng)的解題策略,問題便會化難為易,迎刃而解。
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