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淺談經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的數(shù)學(xué)建模應(yīng)用
摘 要：微分方程是一類應(yīng)用十分廣泛而且常見的數(shù)學(xué)模型。它在經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)和物理學(xué)中有著重要的輔助研究作用。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，通過(guò)數(shù)學(xué)建模把經(jīng)濟(jì)問(wèn)題所涉及的重要特征進(jìn)行合理的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化，即用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)中復(fù)雜、抽象問(wèn)題進(jìn)行表述，將實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)緊密的結(jié)合起來(lái)。
關(guān)鍵詞：微分方程；數(shù)學(xué)建模；邏輯斯諦方程；銷售曲線
微分方程研究范圍廣、歷史悠久，在牛頓和萊布尼茨創(chuàng)造微分和積分運(yùn)算時(shí)指出了它們的互逆性，事實(shí)上這是解決了最簡(jiǎn)單的微分方程 y┡=f（x）的求解問(wèn)題。當(dāng)人們運(yùn)用微分去解決經(jīng)濟(jì)學(xué)中的問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)其對(duì)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題所做的定性分析和定量分析是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹⒖尚诺模虼舜罅康奈⒎址匠逃楷F(xiàn)出來(lái)。現(xiàn)如今，微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)和管理學(xué)等方面得到越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。
一、邏輯斯諦方程
邏輯斯諦方程是一種非線性的微分方程，它的數(shù)學(xué)模型屬于一條連續(xù)的、單調(diào)遞增的、單參數(shù)k為上漸近線的S型曲線。眾所周知，經(jīng)濟(jì)學(xué)上存在著大量的S型變化的現(xiàn)象，而邏輯斯諦方程是可以描述這種變化的數(shù)學(xué)模型，其特點(diǎn)是一開始增長(zhǎng)較慢，中間段增長(zhǎng)速度較快，以后的增長(zhǎng)速度下降并趨于穩(wěn)定。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，如果問(wèn)題的基本特征為在時(shí)間t很小時(shí)，呈指數(shù)型增長(zhǎng)，而當(dāng)t不斷增大，增長(zhǎng)速度卻隨之下降，且越來(lái)越接近一個(gè)確定的值時(shí)，可以考慮運(yùn)用邏輯斯諦方程加以解決。
利用邏輯斯諦方程的思想可以很好地分析一些經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，例如新產(chǎn)品在市場(chǎng)中的發(fā)展。根據(jù)邏輯斯諦方程可以建立一個(gè)新產(chǎn)品的推廣模型。例如：某種新產(chǎn)品問(wèn)世，t時(shí)刻的銷量為f（t），由于產(chǎn)品屬于新型產(chǎn)品，沒有可替代的產(chǎn)品，因此t時(shí)刻產(chǎn)品銷售量的增長(zhǎng)率與f（x）成正比。同時(shí)，產(chǎn)品的銷售量存在著一定的市場(chǎng)容量N，統(tǒng)計(jì)表明，與尚未購(gòu)買的此新產(chǎn)品的潛在客戶數(shù)量N-f（x）也呈正比，于是有=kx（N-x）符合邏輯斯諦方程的模型， 于是有通解：
=kx（N-x）
其中k為比例系數(shù)，分離變量積分, 可以解得
x（t）=
由=,=
當(dāng)x（t*）0,即銷量x（t）單調(diào)增加. 當(dāng)x（t*）=時(shí),=0;當(dāng)x（t*）>時(shí),<0;當(dāng)x（t*）<時(shí)，>0，即當(dāng)銷售量大于需求量的一半時(shí)，產(chǎn)品最暢銷。當(dāng)銷售不足一半時(shí)，銷售速度將不斷的增大。同理，銷售量達(dá)到一半時(shí)，銷售速度則不斷減少。
許多產(chǎn)品的銷售曲線都和邏輯斯諦方程曲線十分的相近。所以，分析家認(rèn)為，當(dāng)產(chǎn)品推出的初期應(yīng)小批量生產(chǎn)；當(dāng)產(chǎn)品用戶在20％－80％之間時(shí)，產(chǎn)品應(yīng)該大批量的生產(chǎn)；但當(dāng)產(chǎn)品的用戶超過(guò)80％時(shí)，企業(yè)應(yīng)該研發(fā)新的產(chǎn)品。
二、收入與債務(wù)的問(wèn)題
目前，歐債美債危機(jī)使大家對(duì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展前景十分擔(dān)憂。一個(gè)國(guó)家債務(wù)過(guò)多，其所需支付的利息超過(guò)了該國(guó)的國(guó)民收入時(shí)，該國(guó)會(huì)出現(xiàn)破產(chǎn)。那么持續(xù)財(cái)政赤字的國(guó)家會(huì)出現(xiàn)破產(chǎn)這個(gè)現(xiàn)象嗎？國(guó)民收入與國(guó)家債務(wù)問(wèn)題能否轉(zhuǎn)化為微分方程去進(jìn)行分析呢？當(dāng)然可以。利用微分方程可以很好地體現(xiàn)一個(gè)國(guó)家的國(guó)民收入與其債務(wù)問(wèn)題。
令D（t）表示國(guó)債在時(shí)刻t的美元價(jià)值，Y（t）表示時(shí)刻t國(guó)民收入。假定所有變量都以實(shí)際美元標(biāo)價(jià)，從而去掉通貨膨脹因素。同時(shí)假定赤字（定義為一個(gè)等于支出減去收入的正值）為任何時(shí)點(diǎn)國(guó)民收入的常數(shù)比例。由于債務(wù)變化恰好是赤字，則有
D=by,b>0（一般，許多國(guó)家的b值 介于0.02和0.08之間，這意味著赤字大約相當(dāng)于國(guó)民收入的2%~8%）
同時(shí)進(jìn)一步假定，國(guó)民收入隨時(shí)間的增長(zhǎng)滿足如下微分方程：
Y=gY g為正常數(shù)（表示國(guó)民收入的增長(zhǎng)率）。
上述兩個(gè)方程一起構(gòu)成了國(guó)債積累模型。為了分析該模型所蘊(yùn)含的利息支付與國(guó)民收入長(zhǎng)期比值之間的關(guān)系，我們需要求解這兩個(gè)方程。該方程可以重新改寫成
兩邊積分可得
Y（t）=C1egt
我們假定利息率為常數(shù)r，計(jì)算利息支付（rD（t））和國(guó)民收入（Y（t））的比值：
定義z（t）=rD（t）/Y（t）為償付國(guó)債利息所吸收的國(guó)民收入份額，化簡(jiǎn)可得
z（t）=re-gt+r（1-e-gt）
z（t）即利息支付與國(guó)民收入的比值，隨著t→∞收斂到一個(gè)有限值。為了驗(yàn)明這一點(diǎn)，對(duì)式子右邊的兩項(xiàng)取t→∞時(shí)的極限。注意e-gt隨著t→∞而趨于零。則有：
國(guó)債的利息支付收斂到國(guó)民收入的一個(gè)固定比例rb/g。如果rb/g＜1，那么即便政府一直實(shí)行不斷增長(zhǎng)的國(guó)民收入的固定比例的預(yù)算赤字，最終的債務(wù)負(fù)擔(dān)也會(huì)收斂到國(guó)民收入的一個(gè)固定份額。這會(huì)是一個(gè)好消息，因?yàn)檫@意味著經(jīng)濟(jì)總是能夠滿足債務(wù)的償付，破產(chǎn)永遠(yuǎn)都不會(huì)發(fā)生。另一方面，如果rb/g＞1，那么這一過(guò)程就會(huì)收斂到一個(gè)利息支付超過(guò)國(guó)民收入的有限值，此時(shí)，如果預(yù)算赤字持續(xù)下去，那么經(jīng)濟(jì)將注定會(huì)破產(chǎn)。
三、總結(jié)
數(shù)學(xué)建模在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的應(yīng)用得到了越來(lái)越多的重視，在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛。把更多的較為抽象的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題公式化、模型化，將為定量研究較為復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題提供更為科學(xué)有效的途徑。
參考文獻(xiàn)：
[1] 盧達(dá)平.微積分在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用 [J].龍巖學(xué)院學(xué)報(bào) , 2006,（03）.
[2] 于同申.發(fā)展經(jīng)濟(jì)學(xué)［M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2002.
[3] 郭爽、李秀麗、高云偉.如何應(yīng)用微分方程理論進(jìn)行數(shù)學(xué)建模[J].大慶師范學(xué)院學(xué)報(bào),2007,（02）
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