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類型空間離散的不完全信息二維價格博弈研究
摘 要：本文通過分析類型空間離散的不完全信息二維靜態(tài)價格博弈和單獨博弈與二維博弈的均衡結果比較，并經過算例驗證，得出了結論：分析證明了當兩種產品無相互替代性時，分別采取價格策略的雙寡頭一維靜態(tài)博弈模型是本文二維靜態(tài)價格博弈模型的特殊情形;當兩種產品具有一定替代性時，對每一種產品進行單獨博弈的均衡策略劣于聯(lián)合對兩種產品進行二維博弈的均衡策略。
關鍵詞：多維博弈;價格;貝葉斯納什均衡;不完全信息
一、引言
在現(xiàn)實經濟活動中，企業(yè)之間存在多個具有相互影響的博弈問題，如企業(yè)對具有一定替代性的多種產品的生產進行博弈的問題。當企業(yè)對每一種產品進行博弈時，除了要考慮競爭對手同類產品策略對本企業(yè)產品的影響外，還要考慮其他替代性產品策略對該產品的影響，這就構成了多維博弈問題。
譚德慶在論文中系統(tǒng)的介紹了多維博弈的定義和基本理論，并給出了完全信息和不完全信息下的靜態(tài)和動態(tài)博弈基本模型和均衡解;[1]其后又分別研究了產量――價格策略多維靜態(tài)博弈、類型空間連續(xù)的不完全信息多維靜態(tài)價格博弈、類型空間離散的不完全信息多維靜態(tài)產量博弈以及不完全信息動態(tài)二維價格博弈等多種多維博弈模型;文獻[2]則研究了關于具有一定替代性的新舊兩種產品在完全信息下的動態(tài)產量-價格策略下的雙寡頭二維博弈模型及其均衡，并與單獨博弈的情形作比較，體現(xiàn)了多維博弈在具有替代性產品的博弈中的優(yōu)越性;文獻[3]比較了完全信息與不完全信息下具有替代性產品的古諾競爭的均衡結果，表明了不完全信息下產品的替代性對均衡產量和利潤均有影響;本人也曾在論文中探討了不完全信息條件下的產量――價格策略二維靜態(tài)博弈模型及均衡[4]。
在實際的市場競爭中，企業(yè)在進行產品競爭時，對產品采取價格策略來爭奪對手顧客。針對這種情況，已有討論針對完全信息下的靜態(tài)雙寡頭價格策略二維博弈模型及其均衡和類型空間連續(xù)的不完全信息雙寡頭價格策略博弈模型。本文將其拓展到類型空間離散的不完全信息情況下進行相關研究，以期填補這一空缺。
二、類型空間離散的不完全信息二維靜態(tài)價格博弈
為構建博弈模型，現(xiàn)提出以下假設：
第一，某一地區(qū)有兩個企業(yè)――企業(yè)1和企業(yè)2――均生產甲乙兩種產品，這兩種產品具有一定的相互替代性，兩個企業(yè)生產產品同類但不完全同質，即所生產的同種產品在質量上有一定差異;
第二，兩個企業(yè)對該地區(qū)的產品市場形成壟斷，且生產的產品完全供給該地區(qū);
第三，企業(yè)1生產的甲乙兩種產品的單位生產成本是完全信息，即企業(yè)1和企業(yè)2均確切知曉企業(yè)1所生產的甲乙兩種產品的單位生產成本;
第四，企業(yè)2所生產的甲產品單位生產成本是完全信息，即企業(yè)1和企業(yè)2均確切知曉企業(yè)2所生產甲產品的單位生產成本;企業(yè)2所生產的乙產品單位生產成本為類型空間離散的不完全信息，即企業(yè)2確切知曉本企業(yè)生產乙產品的單位生產成本，而企業(yè)1只知道其生產成本的可能取值及其相應概率。
在靜態(tài)價格博弈模型下兩個企業(yè)將同時做出選擇，決定自己所生產產品的價格，從而使各自的總利潤達到最大。由于其成本信息是類型空間離散的不完全信息，就形成了一個類型空間離散的不完全信息二維靜態(tài)價格博弈。模型的具體構建過程如下：
設企業(yè)i將兩種產品的市場價格定為(p，p)≥0，(i=1，2)，(p，p)∈p×p，其中第一個下標表示企業(yè)，第二個下標表示產品，p×p則表示企業(yè)i兩種產品可選擇的價格策略集合，即價格策略空間。由于兩種產品之間存在一定的相互替代性，那么對于企業(yè)的一種產品，其需求量不僅受市場上同種商品(本企業(yè)和競爭對手企業(yè)的該種產品)價格的影響，同時也受本企業(yè)和競爭對手企業(yè)的另一種產品價格影響，用函數(shù)的形式表達即，企業(yè)i第j種產品需求函數(shù)為。假設，不同企業(yè)生產的同種產品在市場上相互間的影響程度相同(即，如果企業(yè)i的甲產品價格對企業(yè)j的甲產品需求量的影響系數(shù)為，那么企業(yè)j的甲產品價格對企業(yè)i的甲產品需求量的影響系數(shù)也是);某種產品的市場均價對其他產品的需求量影響系數(shù)相同(即，如果乙產品的市場均價對企業(yè)i的甲產品需求量的影響系數(shù)為r1，那么乙產品的市場均價對企業(yè)j的甲產品需求量的影響系數(shù)也是r1)。根據(jù)以上假設關系，可發(fā)現(xiàn)企業(yè)某種產品的需求量受本企業(yè)該產品價格、競爭對手企業(yè)同種產品價格、市場上替代性產品平均價格的影響。假設需求函數(shù)為如下的線性關系：
(1)
(2)
其中，i，j=1，2，i≠j;、(，>0)分別表示企業(yè)j的甲、乙產品價格對企業(yè)i的甲、乙產品需求量的影響系數(shù);r1(r1>0)表示乙產品的平均市場價格對甲產品需求量的影響系數(shù)，r2(r2>0) 表示甲產品的平均市場價格對乙產品需求量的影響系數(shù)。
在模型討論中，只考慮產品生產的單位成本(忽略產品生產的固定成本)，并假設其為常數(shù)。企業(yè)1的甲和乙產品的單位生產成本分別為C11、C12，企業(yè)2的甲產品的單位生產成本為C21，為共同知識;企業(yè)j的乙產品的單位生產成本有兩種可能，以的概率取低成本C，以1-的概率取高成本C，其中可能成本取值及其相關概率為共同知識。
企業(yè)1：不知道企業(yè)2所有產品確切的單位生產成本，該博弈是不完全信息博弈。企業(yè)1在知道企業(yè)2乙產品可能成本取值及相應概率的情形下，只能最大化自己的期望收益。企業(yè)1盈利函數(shù)的期望為：
EU1=E[Q11(p11-C12)+Q12(p12-C12)]
={[a-p11+
企業(yè)2：乙產品的成本是固定的，該博弈為完全信息博弈。當乙產品采取低成本時，企業(yè)2的盈利函數(shù)為：
當乙產品采取高成本時，企業(yè)2的盈利函數(shù)為：
由于盈利函數(shù)光滑可導，對企業(yè)1的盈利函數(shù)EU1、企業(yè)2的盈利函數(shù)U和U，通過最優(yōu)化一階條件并整理為矩陣形式，可得企業(yè)1與企業(yè)2的向量反應函數(shù)。
為了計算和表達方便，聯(lián)立三個反應函數(shù)方程，得出三個未知向量的貝葉斯納什均衡解
企業(yè)1有唯一的貝葉斯納什均衡解，即當企業(yè)2的成本和概率確定時，企業(yè)1的產品定價是固定的;企業(yè)2根據(jù)自己的成本高低選擇相應的貝葉斯納什均衡解。即企業(yè)1的策略為，企業(yè)2的策略為{}。此解可推廣到兩種產品成本均為不完全信息的情形，若企業(yè)2兩種產品成本都有高低兩種選擇時，則有五個矩陣方程、五個未知向量，也可得解。
三、單獨博弈與二維博弈的均衡結果比較
上面研究了不完全信息條件的雙寡頭價格策略二維靜態(tài)博弈模型及其均衡，下面討論其特殊情形。當甲乙兩種產品在市場上不存在任何替代性(即)時，即兩個企業(yè)分別通過對甲產品進行完全信息價格策略靜態(tài)博弈，對乙產品進行不完全信息價格策略靜態(tài)博弈時有關的均衡策略問題。
當兩企業(yè)只對甲產品進行完全信息價格策略靜態(tài)博弈時，企業(yè)1甲產品的盈利函數(shù)為：
U11=Q11(p11-C11)=(a-p11+)(p11-C11)
企業(yè)2甲產品的盈利函數(shù)為：
U21=Q21(p21-C21)=(a-p21+)(p21-C21)
盈利函數(shù)光滑可導，利用最優(yōu)化一階條件和求出唯一均衡解
(6)
(7)
當兩企業(yè)只對乙產品進行不完全信息價格策略靜態(tài)博弈時，企業(yè)1乙產品的期望盈利為：
當乙產品采取低成本時，企業(yè)2乙產品的盈利函數(shù)為：
當乙產品采取高成本時，企業(yè)2的盈利函數(shù)為：
盈利函數(shù)光滑可導，通過最優(yōu)化條件求出均衡解為：
(8)
(9)
(10)
當甲乙產品不存在替代性時， ，代入式(3)、(4)、(5)，計算得到價格策略靜態(tài)博弈(企業(yè)1和企業(yè)2對甲產品進行完全信息博弈、對乙產品進行不完全信息博弈)的貝葉斯二維納什均衡解。通過比對貝葉斯二維納什均衡結果式的分量與單獨博弈的一維納什均衡結果式(6)(7)(8)(9)(10)，二者完全相同。因此，對甲產品進行完全信息價格博弈、對乙產品進行不完全信息價格博弈的雙寡頭靜態(tài)博弈模型的一維納什均衡結果的簡單組合，就構成了無替代性的兩種產品不完全信息價格策略二維靜態(tài)博弈模型的貝葉斯納什均衡解。
四、算例分析
對具有一定相互替代性的兩種產品進行定價，企業(yè)是二維博弈均衡策略的總利潤更高，還是對每種產品進行單獨博弈均衡策略的總利潤更高，可以通過一個算例來進行比較。不失一般性地，假定a=10，b=12，=0.2，=0.3，=0.18，=0.2;企業(yè)1甲產品成本為C11=0.5，乙產品單位成本為C12=0.6;企業(yè)2甲產品成本為C21=0.7，乙產品單位成本為=0.4，=0.55，=0.5。
將參數(shù)值代入式(3)(4)(5)得貝葉斯納什均衡下的最優(yōu)策略向量;相應的各自總利潤為。將參數(shù)值代入式(6)(7)(8)(9)(10)得單獨博弈時納什均衡下的最優(yōu)策略為;相應的各自總利潤為。
算例分析的結果顯示，對具有一定替代性的兩種產品進行價格博弈時，企業(yè)對兩種產品進行多維博弈均衡下的總利潤，大于對每種產品進行單獨博弈均衡下的總利潤，多維博弈均衡策略更優(yōu)。
五、結論
本文研究了在信息不對稱的情形下，兩個企業(yè)對具有一定替代性的兩種產品均采取價格策略，所建立的不完全信息靜態(tài)二維博弈模型，并得到其貝葉斯納什均衡解。分析證明了當兩種產品不相關時，分別采取價格策略的一維靜態(tài)博弈模型是本文二維靜態(tài)博弈模型的特殊情形，即，在不存在替代性的情況下，不完全信息條件下的雙寡頭價格策略二維靜態(tài)博弈會退化為兩種產品雙寡頭采取價格策略一維靜態(tài)博弈的組合。通過算例分析得出，對具有一定相互替代性的兩種產品進行價格博弈時，對兩種產品聯(lián)合二維博弈的均衡策略優(yōu)于對每一種產品進行單獨博弈的均衡策略，所以此時將兩種產品的相關決策聯(lián)合起來考慮才會得到較高利潤。
參考文獻：
[1] 譚德慶.多維博弈及應用研究[D].成都：西南交通大學，2004.1.
[2] 劉軍，李成金.產量-價格策略下的雙寡頭動態(tài)多維博弈[J].中國管理科學，2008.16(6)150-155.
[3] 王強，陳圻.不完全成本信息下差異產品廠商古諾競爭博弈分析[J].運籌與管理，2010.19(4)52-58.
[4] Xiang Xiaodong，Cao Bing. Multidimensional game of Cournot-Bertrand model with incomplete information and its analysis[J].Procedia Engineering，2012.29.895-902.
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