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一類矩陣兩種迭代法的收斂性比較
1類矩陣兩種迭代法的收斂性比較
摘要
數(shù)值計(jì)算是應(yīng)用數(shù)學(xué)的1個(gè)重要分支，線性方程組的求解是數(shù)值計(jì)算中的1個(gè)重要部分，雅可比（Jacobi）迭代法和高斯-塞德爾（Gauss-Seidel）迭代法又是線性方程組的數(shù)值求解常用的方法。本文就嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣這1類矩陣分別用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法進(jìn)行求解，并對(duì)兩種迭代法的收斂性進(jìn)行比較，得到Gauss-Seidel迭代法的收斂速度比Jacobi迭代法的收斂速度快。
關(guān)鍵詞：Jacobi；Gauss-Seidel；收斂性；譜半徑；嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣
A Comparison between the Astringency of two Iterations in A Matrix
Abstract
The numerical computation is an important branch of applied mathematics, while the solving of the system of linear equations is an important part of the numerical computation. And both the Jacobi Iteration and the Gauss –Seidel Iteration are the common numerical methods for the system of linear equations. This page separately uses the Jacobi Iteration and the Gauss –Seidel Iteration to solve the kind of matrix which is Strictly diagonally dominant matrix, and compares the convergence of the two iterations. Therefore, there is a result that convergence rate of Gauss –Seidel Iteration is faster than that of Jacobi Iteration.
Key word: Jacobi; Gauss-Seidel; convergence; spectral radius; Strictly diagonally dominant matrix
前 言
隨著科學(xué)技術(shù)的飛躍發(fā)展，矩陣計(jì)算的理論和方法與方程的求解已經(jīng)成為科技領(lǐng)域處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的不可或缺的強(qiáng)大工具，它是計(jì)算數(shù)學(xué)的1個(gè)重要分支，同時(shí)它在系統(tǒng)工程穩(wěn)定性理論等相關(guān)科學(xué)，特別是在計(jì)算科學(xué)中也得到了廣泛的應(yīng)用。
眾所周知，許多實(shí)際問(wèn)題最后常常歸結(jié)為解1個(gè)或1些大型稀疏矩陣的線性方程組的求解問(wèn)題，線性方程組的求解成為計(jì)算數(shù)學(xué)中數(shù)值代數(shù)研究的核心之1。
線性方程組的解法有兩種：迭代法和直接法。迭代法與直接法不同，對(duì)于1些特殊的方程組（如：大型稀疏矩方程組）用直接法就難于把方程組的解算出來(lái)，就需使用迭代法，迭代法不能通過(guò)有限次的算術(shù)運(yùn)算求得方程組的精確解，而是逐步逼近它，即使每1步都用精確的算術(shù)運(yùn)算，迭代法也只能得到近似解。雅可比（Jacobi）迭代法和高斯-塞德爾（Gauss-Seidel）迭代法是迭代法中的兩種。兩種迭代法的本質(zhì)區(qū)別在于：Gauss-Seidel迭代不斷地運(yùn)用新值替代舊值，而Jacobi迭代卻不是。在實(shí)際計(jì)算時(shí)，Gauss-Seidel迭代法的迭代格式比Jacobi迭代格式緊湊，并且只需要1套存放迭代向量單元。凡是迭代法都有收斂性與識(shí)差估計(jì)的問(wèn)題，對(duì)于1個(gè)給定的方程組，某些迭代法收斂的快，而有些迭代法可能不收斂，或收斂的慢，以至于無(wú)實(shí)用價(jià)值。參考文獻(xiàn)[9]對(duì)Jacobi與Gauss-Seidel迭代法求解線性方程組收斂性作過(guò)比較與研究，他們給出對(duì)于簡(jiǎn)單的2階方程組1些基本技巧，若Jacobi法與Gauss-Seidel法均發(fā)散，可交換其兩行求得其解。對(duì)1般方程組，給出1個(gè)應(yīng)用性較強(qiáng)的定理，將方程 可以用Gauss-Seidel求得任何| |≠0方程組的解。本論文主要是利用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法針對(duì)1種類型矩陣的收斂性作了分析與比較，對(duì)于這類矩陣，Gauss-Seidel迭代法的收斂速度總是比Jacobi迭代法的收斂速度快的結(jié)論得到了驗(yàn)證。
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