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淺論從虛位移原理到拉格朗日方程
【摘要】由虛位移原理出發(fā)結(jié)合達(dá)朗貝爾原理得到動(dòng)力學(xué)普遍方程，再有這個(gè)普遍方程得到拉格朗日方程的推導(dǎo)過(guò)程。容易看出理論力學(xué)比經(jīng)典力學(xué)有更深的理論基礎(chǔ)和靈活性。尤其是廣義坐標(biāo)、廣義力的引入，以能量為基本概念的動(dòng)力學(xué)方程比牛頓第二定律更具有理論優(yōu)勢(shì)。通過(guò)方程的應(yīng)用實(shí)例可揭示出這兩個(gè)方程在分析力學(xué)中具有非常重要的理論價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值。
【關(guān)鍵詞】廣義坐標(biāo) 虛位移 拉格朗日方程 廣義力
分析力學(xué)是理論力學(xué)的重要組成部分，它給出了與牛頓第二定律等價(jià)的力學(xué)基本方程，提供了解決力學(xué)問(wèn)題的不同方法，拉格朗日方程也是分析力學(xué)中一個(gè)重要的基本方程。拉格朗日方程是在動(dòng)力學(xué)的普遍方程(達(dá)朗伯―拉格朗日方程)的基礎(chǔ)上，將各點(diǎn)的坐標(biāo) 、及其虛位移 變換為廣義坐標(biāo) 及其變分 后得到的。為了加深對(duì)拉格朗日方程的認(rèn)識(shí)和理解，以便能更好地運(yùn)用它來(lái)分析和解決問(wèn)題，下面將達(dá)朗伯原理和虛位移原理結(jié)合起來(lái)推導(dǎo)出動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程。
一、從虛位移原理動(dòng)力學(xué)普遍方程
設(shè)由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，由達(dá)朗伯原理知，在質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的任一瞬時(shí)，任一質(zhì)點(diǎn) 上作用的主動(dòng)力 ，約束反力 及其慣性力 三者構(gòu)成形式上的平衡力系，即：
(1)
對(duì)該質(zhì)點(diǎn)系應(yīng)用虛位移原理，為此，取質(zhì)點(diǎn)系的任何一組虛位移 ，則得：
(2)
設(shè)該質(zhì)點(diǎn)受的是理想約束，則有 ，因此 即：
(3)
(3)式是通過(guò)達(dá)朗伯虛加慣性力手段和虛位移原理相結(jié)合而得到的結(jié)果，稱(chēng)為動(dòng)力學(xué)普遍方程，也稱(chēng)達(dá)朗伯――拉格朗日方程。
二、從動(dòng)力學(xué)普遍方程到拉格朗日方程
由分析力學(xué)，可設(shè)主動(dòng)力為 ，廣義力
由動(dòng)力學(xué)普遍方程，得
(4)
僅為時(shí)間和廣義坐標(biāo)的函數(shù)。
第一個(gè)拉格朗日關(guān)系式
對(duì)任意一個(gè)廣義坐標(biāo) qj 求偏導(dǎo)數(shù)
如果將位矢對(duì)任意一個(gè)廣義坐標(biāo) qj 求偏導(dǎo)數(shù)，再對(duì)時(shí)間求
導(dǎo)數(shù)，則得到
第二個(gè)拉格朗日關(guān)系式
(5)
在這里， 為廣義坐標(biāo)， 則為廣義動(dòng)量，此即拉格朗日方程，或稱(chēng)為第二類(lèi)拉格朗日方程。
如果作用在系統(tǒng)上的主動(dòng)力都是有勢(shì)力，根據(jù)有勢(shì)力的廣義主動(dòng)力
引入拉格朗日函數(shù)L=T-V， T是動(dòng)能，V是勢(shì)能，得到主動(dòng)力為有勢(shì)力的拉格朗日方程
(6)
動(dòng)力學(xué)普遍方程中系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是直角坐標(biāo)來(lái)描述的，而拉格朗日方程是用廣義坐標(biāo)來(lái)描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，兩者都可用來(lái)解決非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，用分析的方法解決動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，因此是分析力學(xué)的基礎(chǔ)。對(duì)于解決復(fù)雜的非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，應(yīng)用拉格朗日方程往往要比用動(dòng)力學(xué)普遍方程簡(jiǎn)便得多。
三、應(yīng)用舉例
為了說(shuō)明分析力學(xué)在解決力學(xué)問(wèn)題靈活、方便且科學(xué)上的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)葍?yōu)勢(shì)，我們可通過(guò)以下面例題的求解來(lái)彰顯。
如圖1所示，試用拉格朗日方程求單擺的微振動(dòng)方程和周期。
解：設(shè)單擺的擺長(zhǎng)為 ，擺錘質(zhì)量為m，取 為廣義坐標(biāo)，則拉格朗日函數(shù)為：
其中取懸點(diǎn)o為零勢(shì)能點(diǎn)。
代入到拉格朗日方程 中得：
而 ，則 ，此即為單擺的微振動(dòng)方程。于是角頻率
所以周期 。
為了節(jié)省時(shí)間，在解題過(guò)程中，并沒(méi)有用大家所熟悉的牛頓第二定律與拉格朗日方程對(duì)比來(lái)求解。但仍能明顯的感覺(jué)到，用分析力學(xué)解題比用牛頓第二定律的方法簡(jiǎn)單靈活的多。
四、結(jié)語(yǔ)
在分析力學(xué)中，關(guān)于力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)規(guī)律有兩種不同的表述，其中之一便是拉格朗日表述，在這種表述中，就是用拉格朗日方程來(lái)描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。關(guān)鍵的問(wèn)題在于對(duì)方程的物理意義的深入理解和如何應(yīng)用拉格朗日方程解題。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，有些學(xué)生只注意解題技巧而忽視了對(duì)方程的物理意義往往這是不可缺少的關(guān)鍵一步。
拉格朗日方程的基本特色在于：(1)由于采用廣義坐標(biāo)作基本變量，微分方程式的數(shù)目和系統(tǒng)的自由度數(shù)目相同，微分方程的數(shù)目是最少的。(2)由于微分方程中不包含約束反力，以及所使用的函數(shù)(動(dòng)能函數(shù)、勢(shì)能函數(shù)等)多為標(biāo)量函數(shù)，這和牛頓的力學(xué)方程相比較，在解決質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)有很大的優(yōu)越性。(3)第二類(lèi)拉格朗日方程是力學(xué)系統(tǒng)在具有最一般意義的廣義坐標(biāo)描述下保持形式不變的動(dòng)力學(xué)方程，因此利用該方程來(lái)研究力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)具有極大的普遍性。因此，可以說(shuō)，拉格朗日方程是力學(xué)中一個(gè)非常重要的理論工具。
參考文獻(xiàn)：
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