小學奧數數論知識講解：奇數偶數與奇偶性分析

小學奧數數論知識講解：奇數偶數與奇偶性分析

　　【奇數和偶數】

　　例1 用l、2、3、4、5這五個數兩兩相乘，可以得到10個不同的乘積。問乘積中是偶數多還是奇數多?

　　講析：如果兩個整數的積是奇數，那么這兩個整數都必須是奇數。在這五個數中，只有三個奇數，兩兩相乘可以得到3個不同的奇數積。而偶數積共有7個。所以，乘積中是偶數的多。

　　例2 有兩組數，甲組：1、3、5、7、9……、23;乙組：2、4、6、8、10、……24，從甲組任意選一個數與乙組任意選出一個數相加，能得到______個不同的和。

　　講析：甲組有12個奇數，乙組有12個偶數。甲組中任意一個數與乙組中任意一個數相加的和，必為奇數，其中最大是47，最小是3。從3到47不同的奇數共有23個。所以，能得到23個不同的和。本題中，我們不能認為12個奇數與12個偶數任意搭配相加，會得到12×12=144(個)不同的和。因為其中有很多是相同的。

　　【奇偶性分析】

　　例1 某班同學參加學校的數學競賽。試題共50道。評分標準是：答對一道給3分，不答給1分，答錯倒扣1分。請你說明：該班同學得分總和一定是偶數。

　　講析：如果50道題都答對，共可得150分，是一個偶數。每答錯一道題，就要相差4分，不管答錯多少道題，4的倍數總是偶數。150減偶數，差仍然是一個偶數。同理，每不答一道題，就相差2分，不管有多少道題不答，2的倍數總是偶數，偶數加偶數之和為偶數。所以，全班每個同學的分數都是偶數。則全班同學的得分之和也一定是個偶數。

　　例2 5只杯子杯口全都朝上。規定每次翻轉4只杯子，經過若干次后，能否使杯口全部朝下?

　　講析：一只杯口朝上的杯子，要想使杯口朝下，必須翻轉奇數次。要想5只杯口全都朝上的杯子，杯口全都朝下，則翻動的總次數也一定是奇數次才能辦得到。現在每次只翻轉4只杯子，無論翻多少回，總次數一定是偶數。所以，不能使杯口全部朝下。

　　例3 某班共有25個同學。坐成5行5列的方陣。我們想讓每個同學都坐到與他相鄰的座位上去。(指前、后、左、右)，能否做得到?

　　講析：如圖5.44，為了方便，我們將每一格用A或B表示，也就是與A相鄰的用B表示，與B相鄰的用A表示。要想使每位同學都坐到相鄰座位上去，也就是說坐A座位的同學都要坐到B座位上去，而坐B座位上的同學都要坐到A座位上去。但是，A座位共13個，而B座位共12個，所以，不管怎樣坐，要想坐A座位的同學都坐到B座位上去，是辦不到的。

　　例4 線段AB的兩個端點，一個標以紅色，一個標以藍色。在線段中間插入1991個分點，每個分點隨意標上紅色或藍色。這樣分得1992條不重疊的小線段，如果把兩端點顏色不同的小線段叫做標準線段，那么標準線段的條數是奇數還是偶數?

　　講析：每插入一個點，無論其顏色怎樣，其非標準線段的條數增加0條或2條，所以插入1991個點后，非標準線段增加總數是一個偶數。又原非標準線段條數為1，是一個奇數，故最后得到的非標準線段必為奇數。非標準線段條數+標準線段條數=1992條。所以，標準線段的條數是奇數。

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