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數(shù)學(xué)手抄報(bào)圖片花邊設(shè)計(jì)
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【數(shù)學(xué)手抄報(bào)內(nèi)容】
2000年4月6日，住在美國(guó)密歇根州普利茅茨的那揚(yáng)·哈吉拉特瓦拉(Nayan Hajratwala)先生得到了一筆五萬美元的數(shù)學(xué)獎(jiǎng)金，因?yàn)樗业搅似駷橹挂阎淖畲笏財(cái)?shù)，這是一個(gè)梅森素?cái)?shù)：
26972593-1。
這也是我們知道的第一個(gè)位數(shù)超過一百萬位的素?cái)?shù)。精確地講，如果把這個(gè)素?cái)?shù)寫成我們熟悉的十進(jìn)制形式的話，它共有兩百零九萬八千九百六十位數(shù)字，如果把它以這個(gè)形式寫下來，大約需要150到200篇本文的篇幅。
可是哈吉拉特瓦拉先生并不是一個(gè)數(shù)學(xué)家，他甚至很可能對(duì)尋找素?cái)?shù)的數(shù)學(xué)理論一無所知--雖然這使他贏得了這筆獎(jiǎng)金。他所做的一切，就是從互聯(lián)網(wǎng)上下載了一個(gè)程序。這個(gè)程序在他不使用他的奔騰II350型計(jì)算機(jī)時(shí)悄悄地運(yùn)行。在經(jīng)過111天的計(jì)算后，上面所說的這個(gè)素?cái)?shù)被發(fā)現(xiàn)了。
二、梅森素?cái)?shù)
我們把一個(gè)大于1的自然數(shù)叫作素?cái)?shù)，如果只有1和它本身可以整除它。如果一個(gè)比1大的自然數(shù)不是素?cái)?shù)，我們就叫它合數(shù)。1既不是素?cái)?shù)，也不是合數(shù)。
比如說，你很容易就可以驗(yàn)證7是一個(gè)素?cái)?shù);而15是一個(gè)合數(shù)，因?yàn)槌?和15外，3和5都可以整除15。根據(jù)定義，2是一個(gè)素?cái)?shù)，它是唯一的偶素?cái)?shù)。早在公元前三百年的古希臘時(shí)代，偉大的數(shù)學(xué)家歐幾里德就證明了存在著無窮多個(gè)素?cái)?shù)。
關(guān)于素?cái)?shù)，有許多既簡(jiǎn)單又美麗，但是極為困難的，到現(xiàn)在還沒有答案的問題。其中有著名的哥德巴赫猜想，它是說任何一個(gè)大于6的偶數(shù)，都能表示為兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和。還有孿生素?cái)?shù)問題。象5和7，41和43這樣相差2的素?cái)?shù)對(duì)，被稱為孿生素?cái)?shù)。孿生素?cái)?shù)問題是說：是不是有無窮多對(duì)孿生素?cái)?shù)?這里要順便提一下的是，這些看起來很簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題，它們的解決方法將一定是極其復(fù)雜的，需要最先進(jìn)的數(shù)學(xué)工具。如果你不是狂妄到認(rèn)為幾百甚至幾千年來所有在這些問題上耗費(fèi)了無數(shù)聰明才智的數(shù)學(xué)家(有許多是非常偉大的)和數(shù)學(xué)愛好者加起來都不如你聰明，就不要試圖用初等方法去解決這些問題，徒費(fèi)時(shí)間和精力。
古希臘人還對(duì)另一種數(shù)感興趣。他們將它稱為完美數(shù)。一個(gè)大于1的自然數(shù)叫完美數(shù)，如果它的所有因子(包括1，但不包括本身)之和等于它本身。比如說6=1+2+3就是最小的完美數(shù)，古希臘人把它看作維納斯也就是愛情的象征。28=1+2+4+7+14是另一個(gè)完美數(shù)。歐幾里德證明了：一個(gè)偶數(shù)是完美數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它具有如下形式：
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2p-1(2p-1)
其中2p-1是素?cái)?shù)。上面的6和28對(duì)應(yīng)著p=2和3的.情況。我們只要找到了一個(gè)形如2p-1的素?cái)?shù)，也就知道了一個(gè)偶完美數(shù);我們只要找到所有形如2p-1的素?cái)?shù)，也就找到了所有偶完美數(shù)。所以哈吉拉特瓦拉先生不但找到了世界上已知的最大的素?cái)?shù)，還找到了世界上已知的最大的偶完美數(shù)。嗯，你要問，關(guān)于奇完美數(shù)又是怎么樣的情況?回答是：我們現(xiàn)在連一個(gè)奇完美數(shù)也沒有找到過，我們甚至根本不知道是不是有奇完美數(shù)存在。我們只知道，要是有奇完美數(shù)存在的話，它一定是非常非常大的!奇完美數(shù)是否存在這個(gè)問題，也是一個(gè)上面所說的既簡(jiǎn)單又美麗，但是極為困難的著名數(shù)學(xué)問題。
有很長(zhǎng)一段時(shí)間人們以為對(duì)于所有素?cái)?shù)p，
M_p=2p-1
都是素?cái)?shù)(注意到要使2p-1是一個(gè)素?cái)?shù)，p本身必須是一個(gè)素?cái)?shù)，想一想為什么?)但是在1536年雷吉烏斯(Hudalricus Regius)指出，M_11=211-1=2047=23*89不是素?cái)?shù)。
皮特羅·卡塔爾迪(Pietro Cataldi)首先對(duì)這類數(shù)進(jìn)行了系統(tǒng)的研究。他在1603年宣布的結(jié)果中說，對(duì)于p=17，19，23，29，31和37，2p-1是素?cái)?shù)。但是1640年費(fèi)爾馬使用著名的費(fèi)爾馬小定理(不要和那個(gè)費(fèi)爾馬大定理混淆起來)證明了卡塔爾迪關(guān)于p=23和37的結(jié)果是錯(cuò)誤的，歐拉在1738年證明了p=29的結(jié)果也是錯(cuò)的，過后他又證明了關(guān)于p=31的結(jié)論是正確的。值得指出的是，卡塔爾迪是用手工一個(gè)一個(gè)驗(yàn)算取得他的結(jié)論的;而費(fèi)爾馬和歐拉則是使用了在他們那時(shí)最先進(jìn)的數(shù)學(xué)知識(shí)，避免了許多復(fù)雜的計(jì)算和因此可能造成的錯(cuò)誤。
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法國(guó)神父梅森(Marin Mersenne)在1644年他發(fā)表了他的成果。他宣稱對(duì)于p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127和257，2p-1都是素?cái)?shù)，而對(duì)于其它小于257的素?cái)?shù)p，2p-1都是合數(shù)。今天我們把形如M_p=2p-1的素?cái)?shù)叫做梅森素?cái)?shù)，M_p中的M就是梅森姓氏的第一個(gè)字母。
用手工來判斷一個(gè)很大的數(shù)是否素?cái)?shù)是相當(dāng)困難的，梅森神父自己也承認(rèn)他的計(jì)算并不一定準(zhǔn)確。一直要等到一個(gè)世紀(jì)以后，在1750年，歐拉宣布說找到了梅森神父的錯(cuò)誤：M_41和M_47也是素?cái)?shù)。可是偉大如歐拉也會(huì)犯計(jì)算錯(cuò)誤--事實(shí)上M_41和M_47都不是素?cái)?shù)。不過這可不是說梅森神父的結(jié)果就是對(duì)的。要等到1883年，也就是梅森神父的結(jié)果宣布了兩百多年后，第一個(gè)錯(cuò)誤才被發(fā)現(xiàn)：M_61是一個(gè)素?cái)?shù)。然后其它四個(gè)錯(cuò)誤也被找了出來：M_67和M_257不是素?cái)?shù)，而M_89和M_107是素?cái)?shù)。直到1947年，對(duì)于p<=257的梅森素?cái)?shù)M_p的正確結(jié)果才被確定，也就是當(dāng)p=2，3，5，7，13，17，19，31，61，89，107和127時(shí)，M_p是素?cái)?shù)。現(xiàn)在這個(gè)表已經(jīng)被反復(fù)驗(yàn)證，一定不會(huì)有錯(cuò)誤了。
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